koeffisientmatrisen

Koeffisientmatrisen (koeffisientmatrisen) refererer til koeffisientene i en gruppe lineære ligninger som multipliserer de ukjente. For et system med m ligninger og n ukjente x1, x2, ..., x_n har vi vanligvis ligningene

a_11 x1 + a_12 x2 + ... + a_1n x_n = b1

...

a_m1 x1 + a_m2 x2 + ... + a_mn x_n = b_m.

Koeffisientmatrisen A er dermed matrisen A = [a_ij], en m×n-matrise som inneholder alle koeffisientene til de ukjente.

Sammen med konstantene b representerer koeffisientmatrisen det lineære systemet i matriseform: Ax = b, der x er kolonnevektor av ukjente. Når systemet har likt antall ligninger og ukjente (m = n) og A er invertibel, finnes løsningen unik og x = A^{-1} b. I andre tilfeller avgjør rang(A) og rang([A|b]) konsistensen og antallet løsninger. Systemet er konsistent hvis r(A) = r([A|b]). Hvis r(A) = r([A|b]) < n, har man uendelig mange løsninger; hvis r(A) = n, har man entydig løsning.

Koeffisientmatrisen utgjør kjernen i metoder som Gauss-eliminering og LU- eller QR-dekomposisjon, som brukes til å finne løsninger eller undersøke egenskaper som dimensjonen til løsningen (nullrommet) og systemets stabilitet. Den er også sentral i teorier om determinant, invertibilitet, rang og eigenverdier, og har bred anvendelse i ingeniørfag, fysikk, økonomi og datavitenskap.