integrálu

Integrál je základní pojem kalkulu, který vyjadřuje množství shromážděné pod křivkou či hromadění hodnot funkce. Rozlišuje se na neurčitý (neuzavřený) a určitý. Neurčitý integrál ∫ f(x) dx představuje rodinu primitivních funkcí F, pro které platí F'(x) = f(x). Určitý integrál ∫_a^b f(x) dx vyjadřuje limitu sumy hodnot f na intervalu [a,b] a často odpovídá ploše mezi křivkou a osou x (přes znaménko). Fundamentalní věta kalkulu spojuje diferenciaci a integraci: pokud je f spojitá na [a,b], pak F(x) = ∫_a^x f(t) dt je primitivou f a ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Vlastnosti zahrnují linearitu (∫ (αf+βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx) a aditivitu na rozmezí; pro změnu proměnné (u-substitution) a částečné integrace existují užitečné techniky. Mezi praktické metody výpočtu patří integrační techniky (substituce, per partes) a rozklady (parciální zlomky, trigonometrické substituce). V případech, kdy primitivu nelze vyjádřit elementárně, se užívají numerické metody: trapezová a Simpsonova metoda, Gaussova kvadratura či jiné kvadrature.

Použití integrálu je rozsáhlé: výpočet ploch, objemů a délek křivek, práce a energie ve fyzice, pravděpodobnost a očekávaná hodnota v statistice, řešení různých problémů v inženýrství a ekonomice.

Historie integrálu sahá do 17. století, kdy nezávisle vyvíjeli Newton a Leibniz. Později vznikly obecnější formy (Riemannův a Lebesgueův integrál) pro nekonečné a nekvalitně definované intervaly.