integraalimuodot

Integraalimuodot ovat matemaattisia objekteja, jotka yleistävät integraalin käsitettä moniulotteisiin avaruuksiin. Ne ovat keskeisiä työvälineitä differentiaaligeometriassa ja teoreettisessa fysiikassa, erityisesti gravitaation ja muiden kenttäteorioiden tutkimisessa. Integraalimuodot mahdollistavat integraalien laskemisen käyrillä, pinnoilla ja yleisemmin monitahokkailla tavalla, joka on riippumaton koordinaattijärjestelmän valinnasta.

Yksinkertaisimmillaan integraalimuoto voidaan ajatella differentiaalina, joka integroitaessa antaa skalaariarvon. Korkeamman asteen integraalimuodot, joita kutsutaan myös k-muodoiksi, voivat integroida esimerkiksi vektorikenttiä pinnan yli. Integraalimuotojen laskutoimitukset, kuten ulkoinen derivaatta ja ulkoinen tulo, noudattavat tarkkoja algebrallisia sääntöjä. Ulkoinen derivaatta on erityisen tärkeä, sillä se yleistää analyysin peruslausetta korkeampiin ulottuvuuksiin Stokesin lauseen kautta.

Integraalimuotojen avulla voidaan ilmaista ja ratkaista monimutkaisia differentiaaliyhtälöitä elegantilla ja koordinaatista riippumattomalla tavalla. Ne tarjoavat tehokkaan kehyksen esimerkiksi differentiaalimuotojen kohomologian tutkimiseen, joka liittyy topologisiin ominaisuuksiin. Teoreettisessa fysiikassa integraalimuotoja käytetään muun muassa yleisessä suhteellisuusteoriassa ja säieteoriassa.