integraalilauseista

Integraalilauseet ovat matemaattisia tuloksia, jotka liittyvät integraalien laskemiseen tai ominaisuuksiin. Ne ovat keskeisiä työkaluja monilla matematiikan ja fysiikan aloilla.

Yksi tunnetuimmista integraalilauseista on analyysin pää-lause (engl. Fundamental Theorem of Calculus). Tämä lause yhdistää derivaatan ja integraalin käsitteet. Se kertoo, että funktion integraali voidaan laskea sen antiderivaatan avulla. Analyysin pää-lauseella on kaksi osaa. Ensimmäinen osa toteaa, että jos määrittelemme funktion $F(x)$ integroidusta funktiosta $f(t)$, niin $F'(x) = f(x)$. Toinen osa kertoo, että funktion $f$ määrätty integraali välillä $[a, b]$ on $F(b) - F(a)$, missä $F$ on $f$:n mikä tahansa antiderivaatta.

Muita tärkeitä integraalilauseita ovat esimerkiksi Greenin lause, Stokesin lause ja divergenssilause. Nämä lauseet ovat moniulotteisia yleistyksiä analyysin pää-lauseesta ja niitä käytetään usein vektoriaalilaskennassa. Greenin lause yhdistää kaksiulotteisen integraalin reitti-integraaliin tasossa. Stokesin lause yhdistää kolmiulotteisen integraalin pinnan yli reitti-integraaliin pinnan reunalla. Divergenssilause yhdistää kolmiulotteisen integraalin tilavuuden yli pinnan yli kulkevaan integraaliin.

Nämä lauseet helpottavat monimutkaisten integraalien laskemista muuntamalla ne yksinkertaisempiin muotoihin tai yhdistämällä ne muihin matemaattisiin käsitteisiin. Ne ovat välttämättömiä työkaluja esimerkiksi fysiikassa kenttäteorioiden, kuten sähkömagnetismin ja gravitaation, tutkimisessa.