injektiivsusele

Injektiivsusele (injektiivne funktsioon) on matemaatiline omadus, mille korral erinevad sisendid annavad alati erinevad väljundid. Kui f: A → B on funktsioon, on f injektiivne, kui f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 kõigi x1, x2 ∈ A.

Teine iseloomustus on see, et f|A: A → f(A) on bijection. See tähendab, et igal y ∈ f(A) on täpselt üks eellane x ∈ A, mille korral f(x) = y. Seega injektiivsus on ehk piiratud kujutise puhul üks-ühene vastavus.

Näited: f(x) = 2x R → R on injektiivne. f(x) = x^2 R → R ei ole injektiivne, kuna f(−1) = f(1). Kui aga domään on [0, ∞), siis f(x) = x^2 on seal injektiivne.

Omadused ja kasutusalad: Kui f: A → B ja g: B → C on injektiivsed, siis koostis g ∘ f on injektiivne. Lõplikus olukorras on injektiivsus seotud hulkade suurusega: lõplikud hulgad A ja B puhul f: A → B on injektiivne ainult siis, kui |A| ≤ |B|. Lineaaralgebras on injektiivsus seotud transformatsiooni kerneliga: lineaarne ülekand T: V → W on injektiivne ⇔ ker(T) = {0}. Lisaks on iga injektiivne funktsioon omal leughil vasakpoolse pöörde olemasolu.