infinitesimális

Infinitesimálisnak tekinthető egy olyan mennyiség, amely nem nulla, de abszolút értéke bármely pozitív valós számnál kisebb. A fogalom a 17. századi Leibniz és Newton kalkulusában kulcsfontosságú volt: végtelenül kicsi változásokat használtak a deriválás és az integrálás leírására, hogy elmagyarázzák a változást és a felhalmozódást.

Azóta a hagyományos valós analízis a határfogalmakra támaszkodik. Az infinitesimálisok a valós számok között nem részei a számrendszernek, a differenciálást és az integrálást pedig inkább határértékekkel és limitfogalmakkal írják le. Így a derivált például a differenciálhányados határértékeként értelmezhető, az integrál pedig a részösszegek véges határaként.

1960-as években Abraham Robinson megalapozta a nem standard analízist, amely kibővíti a valós számokat hiperreálokkal. Ebben a rendszerben léteznek infinitesimális elemek: olyan hiperreálok, amelyek abszolút értéke kisebb, mint bármely pozitív valós számnál. A standard part függvény minden véges hiperreál értéket a legközelebb eső valós számra kerekít, így érthetővé válik a „lényegében nulla” és a „tiszta kis változás” fogalma. Így a differenciálás és az integrálás intuitive megközelítését formálisan is megalapozza.

Használatuk megjelenik differenciálegerométriában és fizikában, valamint oktatási kontextusban a történeti intuíció kifejtésére szolgál. A legtöbb hagyományos elemző munka a határfogalomra épül, de a nem standard analízis további eszközt ad az infinitesimálisok értelmezésére.