differenciálhányados

A differenciálhányados, más néven differenciálhányados, a függvény helyi érintőjének meredekségét vagy a változások arányát adó mennyiség. Ha y=f(x) és Δx ≠ 0, Δy=f(x+Δx)−f(x), akkor a Δy/Δx a differenciálhányados. Ha a határ Δx→0 létezik, akkor f'(x) vagy dy/dx az adott x-ben, és ezt a határértéket nevezzük a függvény deriváltjának.

Notáció és értelmezés: a leggyakoribb jelölések a dy/dx és a f′(x). A differenciálhányados a függvény változásának mértéke x-hez viszonyítva, vagyis a grafikon érintőjének meredeksége. A derivált világos összefüggésben áll a helyi lineáris közelítéssel: f(x) x0-nál közelítőleg f(x0) + f′(x0)(x−x0).

Tulajdonságok és összefüggések: ha f differenciálható egy pontban, akkor f ott folytonos. Nem minden folytonos függvény differenciálható. Differenciálási szabályok közé tartozik a hozzáadás, szorzás, hányados és a láncszabály. A differenciálok segítségével dy = f′(x) dx értelmezhető, ahol dx egy kismértékű x-érték-növekedés, és ez a lineáris közelítés alapja.

Példa: Legyen f(x)=x^2. Δy/Δx = ((x+Δx)^2−x^2)/Δx = 2x+Δx, így Δx→0-kor f′(x)=2x. Differenciálokkal kifejezve: dy = 2x dx.

Történelem és alkalmazások: a differenciálhányados koncepcióját a 17. századi Leibniz és Newton vezették be, majd a differenciálszámítás alapkövévé vált. Ma nélkülözhetetlen a fizikában, mérnöki tudományokban, gazdaságtanban és sok más területen.