infinitesimaalista

Infinitesimaalista viittaa matematiikassa suureisiin, jotka ovat pienempiä kuin mikään positiivinen todellinen luku, mutta eivät ole nollia. Tämä käsite oli keskeinen 1600–1700-luvuilla kehitetyssä laskennassa, jossa derivoita ja integraaleja alettiin hahmottaa äärettömän pienillä muutoksilla: derivoitus määriteltiin nopeuden muutoksen äärettömän pienellä osamisella ja integraali kertymänä äärettömin pienistä osista.

Historian valossa infinitesimaalien käyttö tarjosi intuitiivisen, mutta epätäydellisen perustan laskennalle. Kritiikkiä esiintyi erityisesti 1700-luvulla ja berkeleystyylisesti epäillyn lemma-tilan vuoksi. 19. vuosisadalla matematiikot kuten Weierstrass formalisoivat analyysin epsilon-delta-määritelmillä, jolloin infinitesimaalit jäivät epävarmuuden Varjoonsa ja tulivat suurelta osin korvatuiksi rajoilla ja lähestymisillä.

Nykyiset tulkinnat voidaan jakaa kahteen päälinjaan. Ensimmäinen on standardianalyysi, jossa käsitellään johdannaisia ja integraaleja rajoilla eikä infinitesimaalien todellisia arvoja käytetä objekteina. Toinen on ei-standardi analyysi, jonka kehitti Abraham Robinson; sen hyperrealisten lukujen joukko sisältää todellisia infinitesimaalisia arvoja, joiden avulla voidaan muotoilla laskutoimituksia edelleen intuitiivisesti mutta rakennettaen ne aidosti johdonmukaisesti.

Infinitesimaalista liittyy keskeisesti laskennan perinteeseen ja analyysiin sekä geometriaan. Se näkyy sekä opetuksessa että teoreettisessa matematiikassa: perinteisen rajoitusmallin rinnalla tarjotaan vaihtoehtoja, joissa pienet osat ja niiden kertymät voidaan käsitellä suoremminkin, esimerkiksi ei-standardeissa malleissa.