indirgenemez

indirgenemez, cebirde ve polinomlar kuramında kullanılan bir terim olup, bir öğenin veya elemanın kendisini daha basit yapılı öğelere ayırmadan kullanılması anlamına gelir. Bu kavram, özellikle bir çarpım içinde faktörlenebilen ve bu nedenle daha küçük parçalara bölünebilen unsurlarla ilgili bir sınır çizer. indirgenemezlik, genel olarak bir yapı içindeki “basitlik” durumunu tanımlar ve çoğu zaman sadece birim olmayan öğeler için geçerlidir.

Bir R üzerinde, a ≠ 0 ve a ünite değildir. Eğer a indirgenemezse, a = bc yazımında her zaman ya b ya da c ünite olmalıdır. Bu tanım, birimlerin (gerçek anlamda birbirinin tersi olan elemanların) çarpımını oluşturan elemanlar için geçerlidir ve temel olarak bir elemanın daha küçük öğelere bölünemeyeceğini ifade eder. Polinomlar bağlamında indirgenemezlik, polinomun alan içindeki küçültücü yazımlara sahip olup olmadığını belirtir.

Bir alan F üzerinde F[x] polinomları için indirgenemezlik, polinomun derecesi pozitif olduğunda, p(x) = f(x) g(x) olduğu durumda deg(f) = 0 veya deg(g) = 0 olmasını gerektirir. Yani nontrivial bir çarpım yoktur. İndirgenemez polinomlar, bir alan üzerinde çoğu kez temel yapı taşları olarak kabul edilir ve denklem çözümlerinin yapısını anlamada anahtar rol oynar. Örneğin, X^4 + X^2 + 1 polinomu, gerçek katsayılı polinomlar alanında (X^2 + X + 1)(X^2 − X + 1) çarpımıyla indirgenebilir; bu nedenle indirgenemez değildir. Buna karşılık X^2 + 1 ise gerçek katsayılı polinomlar alanında indirgenemez olarak kalır.

İndirgenemezlik, sektörler arası bağlantılıdır; genelde birimlerin belirlenmesi ve Gauss lejmanı gibi sonuçlar, Z[x] ile Q[x] arasındaki ilişkiyi ve indirgenemezlik testlerini kolaylaştırır. Genel olarak, bir yapıda indirgenemezlik kavramı, elemanın basitliğini ve yapısal ayrışımını ifade eden temel bir özelliktir.