homotópiák

Homotopiák ovat keskeinen käsite algebrallisessa topologiassa, joka kuvaa jatkuvien funktioiden samankaltaisuutta. Yksinkertaisesti sanottuna kaksi jatkuvaa kuvausta samasta avaruudesta toiseen ovat homotooppisia, jos toista voidaan "venyttää" tai "kutistaa" jatkuvasti toiseksi ilman, että kuvausten kuvat repeytyvät tai yhdistyvät. Formaalisti kaksi kuvausta $f, g : X \to Y$ ovat homotooppisia, jos on olemassa jatkuva kuvaus $H : X \times [0, 1] \to Y$ siten, että jokaiselle $x \in X$ pätee $H(x, 0) = f(x)$ ja $H(x, 1) = g(x)$. Tätä kuvausta $H$ kutsutaan homotopiaksi $f$:n ja $g$:n välillä.

Homotopia määrittelee ekvivalenssiluokan jatkuville kuvauksille. Esimerkiksi, jos $X$ on polkuyhtenäinen avaruus, niin kaikki kuvaukset $X \to Y$ vakiofunktiosta $c_y$ (joka kuvaa kaikki $X$:n pisteet johonkin $Y$:n pisteeseen $y$) toiseen vakiofunktioon $c_z$ ovat homotooppisia, jos $Y$ on polkuyhtenäinen. Tämä tarkoittaa, että jokaisella polkuyhtenäisellä avaruudella on "vähän" erilaisia kuvauksia toiseen polkuyhtenäiseen avaruuteen, jos tarkastellaan homotooppista ekvivalenssia.

Homotopian käsitettä käytetään muun muassa homologiaryhmien ja homotopiaryhmien määrittelemisessä, jotka ovat tärkeitä topologisten avaruuksien luokittelussa. Homotopia antaa myös tavan määritellä ja tutkia käännettäviä kuvauksia eli homeomorfismeja. Jos kaksi kuvausta ovat homotooppisia ja molemmat ovat bijektioita, ne ovat läheisesti sidoksissa toisiinsa, mutta eivät välttämättä homeomorfisia.