halmazról

A halmaz a matematika alapfogalma: egy olyan gyűjtemény, amely különböző elemeket tartalmaz, és az elemek egyedi tagok. A halmaz elemeit az ∈ jelöli, és a sorrend vagy az ismétlődés nem számít. Például a {1, 2, 3} halmaznak három eleme van, míg a {3, 2, 1} ugyanolyan halmaz.

Az elemeket általában kapcsos zárójelben írják, például {a, b, c}. Az üres halmaz, amelynek nincs eleme, ∅ vagy {} jelöléssel is ismert. A halmaz közvetlen részeinek viszonyát alhalmaznak hívják: A ⊆ B azt jelzi, hogy minden A eleme B-ben is benne van. Ha A ⊆ B, de B nem kizárólagos elemek nélkül, akkor A nem feltétlenül B. Ha minden elem B-ben van, és léteznek olyan elemek, amelyek csak B-ben vannak, akkor B nem A.

Különféle halmazműveletek léteznek: unió (A ∪ B), metszet (A ∩ B), különbség (A \ B), valamint a komplementum a véges vagy univerzumban meghatározott környezethez képest. A hatványhalmaz P(A) az A összes alhalmazának halmaza. A kartézián szorzat A × B a párok halmaza, amelyből relációk és függvények formálhatók.

A halmazelméletet gyakran axiómák alapján formalizálják (például ZFC). Axiomák közül kiemelkedő az Extensionality, amely szerint két halmaz akkor egyenlő, ha pontosan ugyanazok az elemeik. Halmazokkal modellezhető a számelmélet, a kombinatorika, a valószínűség és a számítástechnika alapvető szerkezete.