grænseberegninger

Grænseberegninger er en central del af analyse og kalkulus og beskæftiger sig med grænseværdier for funktioner og sekvenser. En grænse beskriver, hvilken værdi en funktion f(x) nærmer sig, når x nærmer sig et bestemt punkt a (grænsen ved et punkt) eller når x vokser uden grænse (grænse ved uendeligheden). For sekvenser betegnes grænsen som den værdi, som sekvensens led a_n nærmer sig, når n går til uendeligheden.

En grænse ved et punkt: lim_{x→a} f(x) = L betyder, at f(x) kan gøres arbitrært tæt på L ved at vælge x tæt nok på a (men x ≠ a). Enkeltstående venstre- eller højresidegrænser kaldes henholdsvis venstre- og højresidegrænser. Grænser ved uendelighed beskriver adfærd for store x: lim_{x→∞} f(x) = L og lim_{x→−∞} f(x) = L.

For sekvenser: lim_{n→∞} a_n = L betyder, at for enhver ε > 0 findes et N, så |a_n − L| < ε for alle n ≥ N.

Metoder og teknikker: algebraisk manipulation (faktorisering, forenkling af brøker og anvendelse af konjugat), håndtering af polynomier og rationelle funktioner, L'Hôpital’s regel til uordnede former (0/0 og ∞/∞), Squeeze-teoremet og sammenligningstests. Den formelle definition bygger også på epsilon-delta-kraftudtryk i funktionen ved et punkt og på epsilon-N-definitionen for sekvenser.

Anvendelserne omfatter grundlaget for differentialregning (derivater defineres som grænser af differencekvotienter), integraler og generel konvergensanalyse i analyse og matematikapplikationer.