gradienttiominaisuuksista

Gradientti on skalaarifunktion f: R^n → R gradientti ∇f(x) = (∂f/∂x1(x), ..., ∂f/∂xn(x)). Se kuvaa f:n suurimman kasvun suunnan pisteessä x, ja pituus |∇f(x)| antaa tämän kasvun maksimaalisen nopeuden. Gradientti muodostuu osittaisderivaatioista ja kertoo miten f muuttuu pienessä ympäristössä.

Geometrisesti gradientti on tasojen f(x) = c normaali. Toisin sanoen gradientti on kohtisuorassa kunkin tason pintaa vasten. Directional derivative D_u f(x) in direction u on ∇f(x) · u, missä u on yksikkövektori; näin voidaan mitata f:n muutosta mihin tahansa suuntaan.

Gradientin laskennan perusominaisuudet: lineaarisuus, ∇(f+g) = ∇f + ∇g ja ∇(α f) = α ∇f. Tuotteen gradientti on ∇(f g) = f ∇g + g ∇f. Ketjusääntö yhdistää gradientin koostettuihin karttumiin: ∇(f ∘ g)(x) = Dg(x)^T ∇f(g(x)), kun f määrittää funktion R^m → R ja g: R^n → R^m.

Numeriset lähestymistavat gradientille: finite differences -menetelmät, kuten ∂f/∂x_i ≈ (f(x + h e_i) − f(x − h e_i)) / (2h). Gradientti on tärkeä työkalu optimoinnissa ja oppimisessa: sitä käytetään päivitysaskeleessa x_{k+1} = x_k − α ∇f(x_k) (gradienteja pienentävään suuntaan). Sitä sovelletaan laajasti fysiikassa, insinööritieteissä, koneoppimisessa ja kuvankäsittelyssä.