funktsionaalanalüüsile

Funktsionaalanalüüs on matemaatika haru, mis uurib funktsiooniruumide struktuuri. See on laiaulatuslik ala, mis hõlmab mitmeid olulisi mõisteid, nagu normeeritud ruumid, Banachi ruumid ja Hilberti ruumid. Funktsionaalanalüüs kasutab oma uuringutes kõrgema taseme abstraktseid meetodeid, sageli seostades neid tugevalt lineaaralgebra ja reaalanalüüsiga.

Peamisi funktsionaalanalüüsi uurimisobjekte on normeeritud vektorruumid, mis on vektorruumid, kus on defineeritud norm. Norm annab igale vektorile suuruse või pikkuse. Kui normeeritud ruum on täielik, nimetatakse seda Banachi ruumiks. Hilberti ruumid on Banachi ruumide erijuht, mis lisaks normile omavad ka sisetoodet, mis võimaldab defineerida ortogonaalsust.

Funktsionaalanalüüsil on laialdased rakendused erinevates matemaatika ja teaduse valdkondades. Näiteks on see fundamentaalne kvantmehaanika formaliseerimisel, kus olekuid kirjeldatakse Hilberti ruumides. Samuti kasutatakse seda differentiaalvõrrandite, integraalvõrrandite ja Fourier' rea analüüsi uurimisel. Ala oluliste tulemuste hulka kuuluvad näiteks banachi fikspunktiteoreem ja Hahn-Banachi teoreem. Funktsionaalanalüüs on oma abstraktse loomuse tõttu olnud viljakas tegevusala puhta matemaatika arengus.