funktiojoukolla

Funktiojoukko tarkoittaa kokoelmaa funktioita, joilla on sama määrittelyjoukko A ja sama arvojoukko B. Toisin sanoen kaikki funktiot A → B muodostavat funktiojoukon. Kun halutaan korostaa kokoelmaa, käytetään yleensä kirjoitusta B^A.

Notation ja perusidea: Jos A ja B ovat joukkoja, B^A tarkoittaa kaikkien A:sta B:hen olevien funktioiden joukkoa. Funktiojoukko F on tällöin alijoukko B^A. Se voi olla koko B^A tai jokin sen osa, määritelty lisäehdoilla, kuten "kaikki funktiot, jotka täyttävät tietyn ominaisuuden".

Esimerkkejä: A = {1,2,3}, B = {0,1}. Tällöin B^A sisältää 2^3 = 8 funktiota. C([0,1], R) on esimerkki funktiojoukosta: kaikkien jatkuvien funktioiden joukko, jossa lähde on [0,1] ja arvojoukko R. Myös kaikkien injektiivisten funktioiden joukko A → B on funktiojoukko. Eri konteksteissa funktiojoukkoja voidaan määritellä myös esim. kaikista lineaarisista funktioista V → W, jolloin ne muodostavat erityisen rakenteen.

Ominaisuudet ja rakenteet: Jos B on vektoriavaruus, ja F on alijoukko B^A, voidaan F:ää katsoa vektoriavaruudena, jos se on sulkeutuva yhteenlaskulle ja skalarikertoimille. Kompositio on määriteltävissä, kun funktiot ovat riittävän yleisiä: jos f: A → B ja g: B → C, voidaan muodostaa g ∘ f. Näin funktiojoukot tarjoavat yleisen kehyksen erilaisten funktioiden tarkasteluun.

Käyttökonteksti: Funktiojoukkoja käytetään laajalti matematiikassa ja teoreettisessa tietojenkäsityksessä sekä evaluaatiossa ja rakenteiden tutkimuksessa, joissa tarkastellaan funktioiden kokoelmien ominaisuuksia ja vuorovaikutuksia.