folytonossági

Folytonosság, vagy folytonossági tulajdonság, a függvények és általános leképzések egyik alapvető jellemzője. A valós függvények példáján keresztül ezt így fogalmazzuk meg: legyen f: D → R, D egy intervallum vagy általánosabb terület. f folytonos x0 ponton, ha minden ε > 0 létezik δ > 0 such that x ∈ D és |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε. Ezzel a ponti folytonosság definícióját kapjuk: a kis bemeneti változtatások kis kimeneti változást eredményeznek.

A folytonosság másik megfogalmazása a kimenet közelítése a bemenet közelítésével szemben: ha xn ∈ D és xn → x0, akkor f(xn) → f(x0). Topológiai nézőpontból f folytonos, ha az Y topológiájában nyitott halmazok preimage-e nyitottak, azaz f^{-1}(U) nyílt minden nyílt U-ra. Ezzel általánosítható a folytonosság bármilyen (X, τ_X) és (Y, τ_Y) topológiai terek között.

Folytonosság és a tartomány kapcsolata: folyamatos függvények gyakran viselkedésüket megőrzik, például zárt halmazokon. Az egységes értelemben vett, vagyis uniformen folytonos függvény olyan, amelyre ∀ ε > 0 létezik δ > 0, hogy minden x, y a tartományban d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε. Ha a domaint kompakt részhalmazként tekintjük, akkor minden folytonos függvény uniformen folytonos.

Példák: a polinomok és az exponenciális függvények folytonosak mindenütt; a lépcsős vagy jump-diszcontinuitásnál a folytonosság hiányzik. A folytonosság alapfogalom a számításelmélet, analizis és topológia számos területén, és a folytonosság típusai, jellemzői gyakran képezik egy adott problémamegoldás alapját.