exponenciální

Exponenciální je pojem používaný v matematice a vědách k popisu vztahů, jejichž změna je úměrná současné hodnotě. Obecně jde o funkce rostoucí nebo klesající velmi rychle, rychlost změny tak bývá proporcionální k aktuální hodnotě. Základní tvar exponenciální funkce lze vyjádřit buď jako f(x) = a b^x, kde a je počáteční hodnota a b>0, b≠1, nebo v kontinentálním formátu f(x) = a e^{kx}, kde e je Eulerovo číslo a k je reálné číslo určující tempo změny. Když k>0, funkce roste; když k<0, klesá.

Vlastnosti: Exponenciální funkce je spojitá a diferencovatelná na všech reálných zbývajících. Derivace f'(x) pro tvar f(x) = a e^{kx} je k f(x); u tvaru a b^x lze derivative vyjádřit podle logaritmu. Inverzní funkcí exponenciálního tvaru je logaritmus, nejčastěji přirozený logaritmus ln pro tvar e^{x}.

Růst a útlum: Exponenciální růst odpovídá rychlosti růstu úměrné aktuální hodnotě; exponenciální útlum nastává, když základní míra je menší než jedna (0<b<1). Přirozená forma s b = e bývá často používána pro jednoduché spojité modely.

Aplikace: modely populace, úroky složené, radioaktivní rozpad, chemie a fyzika (Boltzmannův faktor), informatika (exponenciální časová složitost či růst dat). Exponenciální funkce bývá v kontrastu k výrazům s mocninným (polynomial) růstem, kde exponenciála dominuje při velkých hodnotách.