ergodikateooria

Ergodikateooria on matemaatika haru, mis uurib dünaamiliste süsteemide pikaajalist statistilist käitumist. Põhiideeks on seos ajas vaadeldavate keskmiste ja ruumiliste jaotuste vahel ning see, millal ajamõõdud peegeldavad süsteemi üldist jaotust.

Objektideks on μ-säilitavad dünaamilised süsteemid (X, Σ, μ, T): X on ruum, Σ σ-algebra, μ tõenäosusmõõt ning T: X→X transformaator, mis säilitab μ (μ(T−1(A)) = μ(A)).

Käsitletavad mõisted hõlmavad ergodilisust, Birkhoffi ergodilist teoreemi ja erinevaid tugevusastmeid. Birkhoffi ergodiline teoreem: kui f on μ-integrable, siis lim_{n→∞} (1/n) ∑_{k=0}^{n-1} f(T^k x) konvergeer μ-almost every x ja lõppväärtus on ∫ f dμ. Kui süsteem on ergodiline, võrdub see piirväärtus ruumi keskmisega ∫ f dμ.

Ergodilisus tähendab, et iga T-invariantne sündmus on kas 0 või 1 μ-s ning tagab pikaajalise keskmise ühtivuse erinevate algtingimustega.

Segamine ja spektriteooria kirjeldavad, kui tugev on korrelatsiooni hajumine ajas ja milline on seotud unitaarne operaator.

Rakendused hõlmavad statistilist füüsikat, dünaamiliste süsteemide modelleerimist, numberiteooriat ja andmete analüüsi.

Ajalugu: ergodikateooria sai alguse Boltzmanni ideedest; vormiline arendus hõlmas 1930. aastatel Birkhoffi ja von Neumanni panuseid.