emäaaltofunktio

Emäaaltofunktio (mother wavelet) on wavelet-teorian keskeinen käsite. Se on psi(t), josta muut aallot johdetaan skaalaamalla ja siirtämällä: psi_{a,b}(t) = (1/√a) psi((t − b)/a) (a > 0, b ∈ ℝ). Emäaaltofunktio kuuluu L^2(ℝ):n, eli sen energia on rajoitettu, ja sitä käytetään signaalin paikallisessa ajan–taajuusanalyysissä.

Monet emäaaltofunktion muodot ovat nollakeskiarvoisia, eli ∫ psi(t) dt = 0. Tämä ominaisuus auttaa poistamaan DC-komponentin analysaatiosta. Admissibility-ehto varmistaa signaalin täydellisen rekonstruoinnin: ∫ |Ψ(ω)|^2 / |ω| dω < ∞, jossa Ψ on psi:n Fourier-muunnos. Ehto ei päde kaikkiin psi-funktioihin, ja sopivan emäaaltofunktion valinta riippuu sovelluksesta.

Jotta signaalianalyysi olisi käytännöllistä, emäaaltofunktiota käytetään yhdessä jatkuvassa wavelet-tunnuksessa: W_f(a,b) = ∫ f(t) ψ_{a,b}^*(t) dt. Skaala- ja siirtoparametrit antavat tietoa signaalin ominaisuuksista sekä ajassa että taajuudessa. Diskreetti versio valitsee tietyn skaala- ja siirtoaskeleen, jolloin tuloksia voidaan käyttää esimerkiksi digitaalisessa analyysissä.

Esimerkkejä yleisistä emäaaltofunktioista ovat Haarin emäaalto, Daubechiesin perheet, Morlet (Gabor-tyylinen) aalto sekä Mexican hat (Ricker) -aalto. Haar on yksinkertaisin, kun taas Daubechiesin aallot tarjoavat lyhyen tuen ja hyvän erottelukyvyn; Morlet ja Mexican hat ovat taajuuskeskittyneempiä.

Käyttökohteita ovat signaalin denoising, kuvien ja signaalien compressio sekä piirteiden tunnistus. Emäaaltofunktion valinta vaikuttaa analyysin aikataajuusresoluutioon ja siihen, kuinka herkästi signaalin eri osat voidaan erottaa.