eliminációval

Eliminációval (általában Gauss-eliminációként ismert módszer) olyan technika, amellyel lineáris egyenletrendszereket oldanak meg úgy, hogy egyes változókat kiiktatnak, és ezáltal egyszerűbb egyenleteket kapnak. A módszer középpontjában a sorműveletek állnak, amelyek változtathatják a rendszert anélkül, hogy a megoldást megváltoztatnák. Gyakran az egyenletrendszerhez tartozó hordozó mátrixot és a jobb oldalát (augmented mátrix) használják.

A folyamat lényege a mátrixokkal való dolgozás: egy A x = b alakú rendszert kiterjesztünk [A|b] alakúhol, majd sorműveletekkel olyan alakba hozzuk, amelyben a főátló alatti elemek zérusak (előre elimináció). Ezt követően visszaalakítást, visszahelyettesítést végzünk a megoldáshoz (váltakozóan a felső háromszög vagy redukált felső háromszög alak). A módszer a koordináták egymás után történő kiküszöbölésén alapul: minden lépésben egy változót kiiktatnak, hogy a maradék könnyebben megoldható legyen.

Variánsok és kapcsolódó fogalmak: a Gauss-elimináció a legismertebb változat, amely forward eliminációból és visszafelé substitúcióból áll. Gyakran alkalmazzák LU-dekompozíció formájában is, amely a megoldást elválasztja a mátrixfactorizációtól. A numerikus megvalósítás során pivotálást alkalmaznak (részleges vagy teljes pivotálás), hogy a gyakorlatban stabil maradjon a számítás és elkerüljék a null vagy nagyon kicsi pivottételeket.

Alkalmazások és korlátok: a módszert széles körben használják mérnöki, fizikai és számítástechnikai problémák megoldására. Nagy rendszerekben az O(n^3) időbonyolultság miatt gyakran iteratív módszerek vagy speciális, sparse szerkezetekre optimalizált eljárások előnyösebbek. Elimináció nélkülözhetetlen eszköz a lineáris algebra alapjaiban és a determinánsok, inverz kiszámításában is.