eksponentiaalijakaumaa

Eksponentiaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, joka mallintaa ajan viipeilyä ennen seuraavaa tapahtumaa tai aikaa kahden peräkkäisen tapahtuman välillä. Sillä on ainoa kiinteä parametri, λ > 0, joka kuvaa tapahtumien keskimääräistä taajuutta. Jakauman tiheysfunktio on f(x) = λ e^{-λ x} x ≥ 0, ja f(x) = 0 muulloin. Kertymäfunktio on F(x) = 1 − e^{-λ x}, x ≥ 0.

Ominaisuudet: Odotusarvo on E[X] = 1/λ ja varianssi Var[X] = 1/λ^2. Jakauma on muistuttava (memoryless): P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Havaintoja varten hazard-funktio on h(x) = λ, eli yleinen riski on vakio ajan yli. Eksponentiaalijakauma on gamma-jakauman erityistapaus, jossa muoto (shape) on 1.

Sovellukset ja yhteydet: Eksponentiaalijakaumaa käytetään kuvaamaan inter-arrival aikavälejä Poisson-prosessissa sekä elinikä- ja luotettavuuslaskelmissa. Siitä on laajasti hyötyä jono-opissa (esim. M/M/1-verkot) ja sukupolvien pituisuuden sekä viiveen mallintamisessa, joissa hazardin arvo on käytännössä vakio.

Estimointi: Havaintoihin X1, ..., Xn perustuva maksimaalisen todennäköisyyden estimaatti λ̂ on λ̂ = n / Σ Xi = 1 / x̄. Luottamusvälit voidaan johtaa normaalin approksimaation avulla, jolloin Var(λ̂) ≈ λ^2 / n. Eksponentiaalijakauma on yksinkertainen ja yleisesti käytetty malli, jolla on selkeät tulkinnat ja laskukaavat.