divisibile

Divisibilità è una relazione tra interi. Si dice che un intero a divide un intero b se esiste un altro intero k tale che b = a·k. In notazione matematica si scrive a | b e si dice: a divide b. L’intero a è detto divisore di b e, se a ≠ 0, b è multiplo di a. La definizione vale anche per i numeri negativi in modo simmetrico rispetto al segno.

Esempi: 12 è divisibile per 3 poiché 12 = 3·4; 15 è divisibile per 5. Ogni intero non nullo divide 0, poiché 0 = a·0. Invece 0 non divide alcun numero diverso da 0. Per i numeri positivi si parla di divisori positivi e di multipli; 1 è divisore di ogni intero, e ogni intero ha una quantità finita di divisori positivi.

Proprietà: la divisibilità è riflessiva se si considera a|a; è transitiva: se a|b e b|c allora a|c. Per i positivi vale che è una relazione di ordine parziale. L’esistenza di divisori invita a definire concetti come il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (MCM).

Primi e teoremi: un numero p è primo se ha solo due divisori positivi: 1 e p (p > 1). In alternativa, se p|ab implica p|a o p|b, allora p è primo. Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero > 1 può essere scritto in modo unico come prodotto di primi. Questo rende la divisibilità una base per molte proprietà aritmetiche.

Aspetti algorithmici: l'algoritmo di Euclide permette di calcolare il massimo comune divisore (MCD) di due interi in modo efficiente. Una congruenza mod n, scritta a ≡ b (mod n), significa che n | (a−b). La divisibilità si estende anche ad altri ambiti matematici, come anelli e campi, dove esistono concetti analoghi di divisibilità.