diskontinuaalsuste

Diskontinuaalsus ehk katkestus on punkt x0 funktsioonis f, kus piiri väärtus, millele lähenedes x → x0, ei võrdu f(x0) või piir ei eksiste. Kui lim_{x→x0} f(x) olemas ja see võrdub f(x0), on f x0-l pidev. Diskontinuaalsused esinevad laialdaselt analüüsis ja funktsioonide käitumise uurimisel.

Eemaldatav diskontinuaalsus: piir f(x) x→x0 eksisteerib, kuid f(x0) on määramata või erineb piirist. Sellist katkestust saab eemaldada, kui määrata f(x0) võrdseks selle piiriga. Näide: f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) for x ≠ 1. Piir x→1 on 2, kuid f(1) ei ole määratud; kui määrata f(1) = 2, saab funktsioon olla pidev.

Hüppiline diskontinuaalsus: vasak- ja parem piir on olemas, kuid nad on erinevad: lim_{x→x0^-} f(x) ≠ lim_{x→x0^+} f(x). Selline katkestus on hüppeline. Näide: f(x) = 0, kui x < 0; f(x) = 1, kui x ≥ 0; piir x→0 on hüppeline.

Lõpmatu diskontinuaalsus: kui x → x0, f(x) kasvab lõpmatult või kahandub lõpmatult (∞ või −∞). Piir ei eksiste reaalväärtustena. Näide: f(x) = 1/x, x → 0.

Ebaharilik ehk essential diskontinuaalsus: kui piir ei eksiste mitte lõpmatu, vaid on ebastabiilne või mitteametlikult hargnev. Näide: f(x) = sin(1/x) x → 0.

Diskontinuaalsus iseloomustab pidevuse puudumist ja lähestumise käitumist ning on oluline mõiste analüüsis ja funktsioonide käitumise kirjeldamisel.