diffusjonsprosesser

Diffusjonsprosesser er et begrep som brukes i både fysikk og sannlighetsteori. De beskriver hvordan egenskaper som partikkelkonsentrasjon, varme eller pris i et system sprer seg fra områder med høy til lavere verdi som følge av tilfeldige bevegelsesmønstre. I fysikk og kjemi betegnes dette ofte som diffusjon, og det kan beskrives med Ficks første og andre lov samt diffusjonsligningen.

Fysiske diffusjoner oppstår når partikler eller varme spres på grunn av konsentrasjons- eller temperaturgradienter. Den første loven sier at fluxen er proporsjonal med gradienten i konsentrasjonen, og den andre loven gir tidsutviklingen av konsentrasjonen som ∂c/∂t = ∇ · (D ∇c) hvis diffusjonen er isotrop og konstant. For et isotropt medium forenkles dette til ∂c/∂t = D ∇² c. Løsnings- og randbetingelser avgjør hvordan konsentrasjonen endrer seg i praktiske situasjoner.

I sannlighetsteori betegnes diffusjonsprosesser ofte som kontinuerlige tidsprosesser som har kontinuerlige stier og modelleres som løsninger av stokastiske differensialligninger, for eksempel dX_t = a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t, hvor W_t er en standard Brownsk bevegelse. Slike prosesser er ofte Markov-prosesser, og de beskrives videre av generatoren L og Fokker-Planck (forward Kolmogorov) ligningen som styrer utviklingen av sannsynlighetsfordelingen p(x,t).

Diffusjonsprosesser brukes i mange felt, fra material- og biovitenskap til finans, hvor de gir en modell for tilfeldig transport eller prisutvikling under usikkerhet.