differentiabiliteettiin

Differentiabiliteetti on matemaattinen käsite, joka kuvaa, voiko funktio olla lineaarisen lähentämisen avulla hyvin lähestyttävissä pienissä muutosarvoissa. Käytännössä f: R^n -> R^m on differentiable at pisteessä a, jos on olemassa lineaarinen kartta df_a: R^n -> R^m siten, että f(a+h) = f(a) + df_a(h) + o(||h||) kun h -> 0. Tästä kartasta käytetään nimitystä differentiaali; jos m=1, df_a(h) vastaa gradientin ja tulkinta on f(a) ja h:n lineaarinen yhdistelmä. Jos funktio on differentiable kaikissa pisteissä tietyn alueen sisällä, sanotaan, että se on differentiable alueellisesti (esimerkiksi C^1- tai C^∞-luokat).

Yhden muuttujan tapauksessa differentiability at a tarkoittaa, että raja f(a+h) − f(a) / h existeer ja on olemassa. Monimutkaisemmissa tapauksissa differentiability on vahvempi kuin pelkkä jatkuvuus: differen kannattaa tarkastella, miten pienet muutokset syöksyvät lineaarisen lähentämisen kautta. Esimerkiksi funktio f(x) = |x| on jatkuva, mutta ei differentiable kohdassa x = 0; sen sijaan funktio f(x,y) = x^2 + y^2 on differentiable kaikkialla, ja sen differentiaali at (x,y) on df_(x,y)(h,k) = 2x h + 2y k.

Rooli sekä teoriassa että sovelluksissa on keskeinen: differentiability mahdollistaa Taylorin kaavat, gradienttien ja Jacobianien tulkinnan sekä optimoitavien funktioiden lähestymisen tangenttitasolla. Termi differentiabiliteetti on suomenkielinen vastine sanalle differentiability, ja illatiivin muoto differentiabiliteettiin viittaa lausekieliseen kontekstiin (esim. siirtyminen differentiabiliteettiin).