differenciálhatósági

A differenciálhatósági fogalom a függvények helyi lineáris közelítésének létezését írja le a matematika analízisében. Általában egy f függvényt úgy tekintjük differenciálhatónak egy pontban, ha van egy lineáris leképezés, amely a függvény helyi viselkedését százalékos hibával közelíti meg.

Formálisan: legyen U nyílt részhalmaz a Re^n térben, f: U → Re^m. X0 ∈ U-n belül f differenciálható x0-nél, ha létezik egy lineáris L: Re^n → Re^m, amelyre

lim_{h→0} [f(x0 + h) − f(x0) − L(h)] / ||h|| = 0.

Ekkor az L a derivált, amelyet gyakran Df(x0) vagy f′(x0) jelöl, és a függvény első közelítő lineáris közelítését adja. Ha m = 1 és n = 1, akkor L(h) = f′(x0) h.

A differenciálhatóság következményei közé tartozik, hogy a függvény az adott pontban folyamatos, és általában jól viselkedik a szabályokkal, például a láncszabállyal. Fontos megjegyezni, hogy a részderiváltak egyenlő létezése nem guaranteed a differenciálhatóság, például az f(x) = |x| függvény nem differenciálható x = 0-on.

További fogalmak: a differenciálhatóságot különböztetjük meg Gateaux- és Fréchet-differenciálhatóságtól, és beszélünk C^k-szintű, sima (C^∞) vagy analitikus függvényekről a differenciálhatóság fokainak graduális megadásához. A többváltozós esetben a deriváltak a Jacobian- vagy a gradient-kép formájában jelennek meg.