determinantene

Determinanten er en skalarfunksjon som tildeles kvadratiske matriser og som blant annet angir hvordan den lineære transformasjonen som matrisen representerer skalerer volumer og endrer orientering. For en matrise A gir determinanten et tall som avhenger av kolonner (eller rader) i A og som har flere viktige egenskaper i algebra og geometri.

For en 2x2 matrise A = [a b; c d] er determinanten det(A) = ad − bc. For en 3x3 matrise A = [a b c; d e f; g h i] er det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. Generelt gir determinanten til en n×n-matrise et tall som blant annet er multiplicativt over matriseprodukt og som oppfyller flere sentrale regler.

Viktige egenskaper inkluderer: det(AB) = det(A) det(B); det(A^T) = det(A); hvis A er invertibel, det(A^−1) = 1/det(A). Determinanten er null når matrisen er singulær. For en trekantmatrise er determinanten produktet av diagonalene. Ved bytte av to rader skifter fortegn, mens adding av en multiplum av en rad til en annen ikke endrer determinanten.

Beregningsmetoder inkluderer cofaktorutvidelse (Laplace-ekspansjon) som gir teoretisk innsikt, men er upraktisk for store matriser. Mer praktiske metoder er radreduksjon og LU-faktorisering, der determinanten er produktet av diagonalene i LU-formen (opp til faktorer fra radoperasjoner).

Anvendelser omfatter geometri, hvor |det(A)| gir volumer av parallelepipedet spennet av kolonnevektorene; determinanten brukes også i løsningen av lineære ligningssystemer (Cramers regel) og i å finne eigenverdier gjennom det(A − λI) = 0. Begrepet og metodene rundt determinanten utviklet seg i løpet av 1700- og 1800-tallet, med bidrag fra Gauss, Cauchy og Jacobi, og ble senere standardisert.

---