determinánsok

Determináns egy négyzetes mátrixhoz rendelt scaláris érték, amely a mátrix lineáris leképezésének térfogatszorzóját és orientációját írja le. Ha A ∈ R^{n×n}, det(A) megadja a transzformáció által létrehozott n-dimenziós parallelepipedus térfogatának arányát az egységkockához képest, a jel pedig az orientáció megváltozását jelzi. Alapvető tulajdonságok: det(AB) = det(A) det(B); det(A^T) = det(A); det(A^{-1}) = det(A)^{-1} ha invertálható; det(cA) = c^n det(A) a mátrix méretének megfelelően. Det(A) = 0 akkor, ha A szingularis.

Különleges esetek: ha A diagonálmentevő (felső vagy alsó háromszögmátrix), det(A) a diagonális elemek szorzata; sor- vagy oszlopcserével det előjele megváltozik; egy sor λ-szerezésével det(A) = λ det(A). Ezenkívül det(A) = 0 jelezheti a nem invertálhatóságot.

Geometriailag az abs(det(A)) a transzformáció által létrehozott parallelepipedus térfogatának arányát adja az egységkockához viszonyítva; a jel az orientáció megfordulását jelzi. Számítási módszerek: Gauss-eliminációval vagy LU-dekompozícióval det(A) a diagonális elemek szorzata, figyelembe véve a sorcserék előjelét. Kis mátrixokra képlettel is számolható: 2×2-es det ad ad−bc; 3×3-as det a szabályos összefüggés. Alkalmazások közé tartozik a lineáris rendszerek megoldása (Cramer-szabály), a sajátértékek vizsgálata (det(A−λI) a karakterisztikus polinom), és az invertibilitás valamint térfogatszorzó értelmezése.