derivatsiooni

Derivatsioon, ehk tuletis, on piirväärtus, mis kirjeldab funktsiooni muutumise kiirust ühe muutuja suhtes. Kui f on määratud avatud vahemikul I ⊂ R, defineeritakse f'(x) kui lim h→0 [f(x+h) − f(x)] / h, kui piirväärtus eksisteerib. Tuletist tähistatakse sageli f'(x), df/dx või Df(x).

Geomeetriliselt on tuletis grafiku y = f(x) tangendi kalle ehk kiirus, millega funktsioon x-i suhtes muutub. Seetõttu f'(x) kirjeldab graafiku tõusu võilanguse täpse nurga all.

Põhivõrristused ja järjed: (f+g)' = f' + g'; (c f)' = c f'; (fg)' = f' g + f g'; ja ahelareegel: (f ∘ g)' = f'(g(x)) · g'(x). Kõrgemad derivatsioonid hõlmavad teise järgu tuletist f''(x), mis kirjeldab kiiruse kiirust ning annab konvektsiooni või infleksiooni. Mitmeteljeline juhtum kasutab osatellijuhendeid ∂f/∂x, gradient ∇f ja Hessian-maatrit.

Diferentseeruvus ja pidevus: kui f on määratud piirkonnas ja differentseeruv, siis ta on pidev. Diferentseeruvus ei kehti kõigi funktsioonide puhul. Erinevad näited: d/dx x^n = n x^{n-1}; d/dx e^x = e^x; d/dx sin x = cos x.

Rakendused ja tähendus: derivatsioon on põhivahend muutuste mõõtmiseks looduses ja tehnikas, sealhulgas füüsikas, inseneerias ning majanduses. Mitmekülgsed juhtumid hõlmavad kiiruste ja optimeerimise probleeme, kõikumiste ja tasakaalupunktide analüüsi ning pidevaid muutuste modelleerimist.