derivatívák

Derivatívák a matematika egyik alapfogalma, amelyek megadják, hogy egy függvény mikor és milyen gyorsan változik egy adott ponton. Egy valós függvény f esetén a derivatíva f′(x) a határérték: f′(x) = lim_{h→0} (f(x+h) − f(x))/h, ha létezik. Geometriailag a derivatíva a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége a vizsgált pontban, és a helyi lineáris közelítés alapját képezi. A deriválhatóság biztosítja, hogy a függvényt helyi lineáris közelítéssel lehet írni.

Parciális deriváltak és többváltozós függvények: ha f = f(x1, x2, ..., xn), akkor a parciális deriváltak f_{x_i} értékei arról adnak információt, hogy f hogyan változik egy-egy változó szerint. A teljes derivált és a gradiens (n-dimenziós vektor, amely a legnagyobb növekedés irányát adja) a többváltozós analízis alapfogalmai. A láncszabály, a szorzatszabály és a hányadosszabály a deriválás gyakorlati eszközei.

Alkalmazások: a fizikai jelenségek leírásában, például a sebesség a test helyváltozásának üteme, mérnöki problémák helyi közelítésében és optimalizálásban, gazdaságtanban a marginális hatások és a dinamikus modellek meghatározásában, gépi tanulásban pedig a gradiens alapú tanulást és a modellek naprakész módosítását segítik.

Származtatott termékek: a pénzügyi világban a derivatívák olyan eszközök, amelyek értékét egy vagy több alaptermék ára alapján számítják ki. Ilyenek a futures, részvény- és devizaszármazékok, opciók és Swaps. Használatuk kockázatkezelésre és spekulációra terjed ki; értékelésüket modellek, például a Black–Scholes vagy más árazási módszerek segítik.