derivaatteilla

Derivaatta on keskeinen käsite differentiaalilaskennassa. Se mittaa funktion muutosnopeutta pisteessä. Yksinkertaisimmillaan derivaatta voidaan ajatella funktion kuvaajan tangentin kulmakertoimena kyseisessä pisteessä. Funktion derivaatta on itsessään uusi funktio, joka kertoo alkuperäisen funktion derivaatan arvon jokaisessa pisteessä.

Matemaattisesti derivaatta määritellään raja-arvona: funktion f(x) derivaatta pisteessä x on raja-arvo lausekkeelle (f(x+h) - f(x)) / h, kun h lähestyy nollaa. Tämä määritelmä kuvaa keskimääräisen muutosnopeuden lähestymistä hetkelliseen muutosnopeuteen. Derivaatan merkintöinä käytetään usein f'(x) tai dy/dx.

Derivaatoilla on lukuisia sovelluksia eri tieteenaloilla. Fysiikassa derivaatta kuvaa esimerkiksi nopeuden muutosta ajan suhteen (kiihtyvyys) tai paikan muutosta ajan suhteen (nopeus). Taloustieteessä derivaattoja käytetään optimointiongelmissa, kuten kustannusten tai voittojen maksimoinnissa tai minimoinnissa. Toinen derivaatta puolestaan kertoo funktion kuperuudesta tai koveruudesta ja on hyödyllinen esimerkiksi funktion ääriarvojen etsimisessä.

Derivaatan laskemista kutsutaan derivoinniksi, ja siihen on kehitetty joukko sääntöjä, kuten summasääntö, tulosääntö, osamääräsääntö ja yhdistetyn funktion derivointisääntö, jotka helpottavat monimutkaisempien funktioiden derivaattojen löytämistä.