compactificarea

Compactificarea reprezintă în general procesul de a transforma un spațiu sau un obiect geometric într-un obiect compact sau într-un obiect mai „complet”, adesea prin adăugarea de puncte la infinit sau prin încorporarea într-un spațiu compact mai mare.

În topologie, o compactificare a unui spațiu X este un spațiu compact Y care conține X ca subspațiu dens. Un exemplu comun este compactificarea cu un punct, cunoscută ca compactificarea lui Alexandroff sau one-point compactification, aplicabilă spațiilor local compacte și Hausdorff. În acest caz, X cu un punct adăugat la infinit devine spațiul Y compact, iar topologia este ales astfel încât deschiderile din X rămân deschise în Y, iar punctul adăugat capătă rolul de „punct la infinit”. Un alt exemplu este compactificarea Stone–Čech βX, care oferă cea mai mare compactificare împotriva unui spațiu dat într-un anumit sens.

În geometria algebrică, compactificarea se referă la extinderea unei varietăți sau a unei scheme pentru a o face compactă, adesea prin adăugarea de puncte la infinit. Astfel, o varietate affine poate fi compactificată în varietatea proiectivă asociată, de exemplu A^n în P^n. Procesul implică, de regulă, gestionarea limitelor și a posibilelor singularități, facilitând studiul proprietăților globale.

În fizica teoretică, termenul se referă la înfășurarea spațiilor suplimentare într-un spațiu compact la scară foarte mică, ceea ce dă naștere la teorii efective cu un număr redus de dimensiuni. Exemplele includ compactificarea în jurul varietăților Calabi–Yau, utilizată în modele de teoriile din string theory.