chisquarefordelingen

Chi-kvadratsfordelingen, eller chisquarefordelingen, er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling som oppstår som summen av kvadrater av k uavhengige standardnormalfordelte variabler. Dersom Z1,...,Zk er uavhengige N(0,1), så er X = Σ Zi^2 χ^2_k-distribuert. Fordelingen har støtte x > 0 og tettheten f(x) = 1/(2^{k/2} Γ(k/2)) x^{k/2 - 1} e^{-x/2} for x > 0. Den er også en gamma-fordeling med formparameter k/2 og skala 2, dvs. χ^2_k ~ Gamma(k/2, 2).

Viktige egenskaper er at forventningen er E[X] = k og variansen Var(X) = 2k. Skjevheten er √(8/k) og overskuddkurtose er 12/k; for små k er fordelingen betydelig høyreskew, mens den blir mer symmetrisk når k øker.

Additivitetsegenskaper: Hvis X ~ χ^2_{k1} og Y ~ χ^2_{k2} er uavhengige, så X+Y ~ χ^2_{k1+k2}.

Bruksområder: Chi-kvadratsfordelingen brukes i statistiske tester som goodness-of-fit og uavhengighetstester (f.eks. tester basert på krysstabeller) samt i konfidensintervaller for variansen i normalfordelte data. Den danner også grunnlaget for flere teststatistikker i varianseanalyse og andre metoder.

Praktiske bemerkninger: Det finnes ingen enkel lukket form for CDFen i generelle k; derfor brukes tabeller eller programvare for å finne kritiske verdier. Ikke-sentrerte chi-kvadratfordelinger brukes ved visse alternative hypoteser.