báziselemek

A báziselemek a vektortér bázisát alkotó elemek. Egy vektortér V bázisát B = {v1, ..., vn} olyan vektorok alkotják, amelyek lineárisan függetlenek és amelyek alapján minden V-ben lévő vektor egyértelműen felírható.

Minden vektor x ∈ V fejezetten megítható x = a1 v1 + ... + an vn formában, ahol az a1, ..., an a bázis elemeire kidolgozott koordináták. Ezen koordináták egyértelműek, tehát a bázis megváltoztatásával csak a koordinátacsoport, nem a vektor maga változik.

Ha V véges dimenziójú, akkor a báziselemek száma n megegyezik a tér dimenziójával. Igaz ugyanakkor, hogy terek és elemeik különböző bázisokból különböző koordinátákat öltenek, és előfordul, hogy többféle bázis is adja a szükséges teljes lefedést.

Példák: a R^2 tér standard báziselemei e1 = (1, 0) és e2 = (0, 1). A polinomok térében például a P2, azaz a legfeljebb másodfokú polinomok tér bázisaként a 1, x, x^2 elemek választhatók. Függvényterekben gyakran különféle másodlagos bázisokat alkalmaznak, például a Fourier-bázist a megfelelő fokú periódikus függvényekhez.

A báziselemek fontossága abban rejlik, hogy velük könnyen fejezhetők ki vektorok és egyszerűen végezhetők el számítások: koordináta-értékek kiszámítása, lineáris kombinációk és bázisváltások révén. Elemek megválasztása tehát a probléma jellege szerint történik.