birationaalisesta

Birationaalisuus on käsite algebrallis-geometriassa, jossa tarkastellaan kahden algebraisen muodon tai monimuodon välistä suhdetta. Kaksi muotoa X ja Y ovat birationaalisesti samankaltaisia, jos niiden välillä on olemassa birationaalinen kartta f: X → Y, joka on määritelty suurimmalla avoimella joukolla X ja jolla on käänteinen kartta, määritelty suurimmalla avoimella joukolla Y. Toisin sanoen niiden funktiotilat K(X) ja K(Y) ovat isomorfeja.

Birational mapit ovat rational maps, joiden käänteinen kartta on myös rational, ja ne säilyttävät yleisen geometrisen rakenteen, vaikka ne voivat muuttaa pienempiä, eristettyjä kohtia. Birationaalisuus ja birationaaliset kartat ovat keskeisiä, kun jaetaan muotoja suurin piirtein samalla “yleisellä” tavalla; ne kuvaavat tilojen samanlaisuutta suotuisalla tavalla, vaikka muodon mielleyhtymiä voisinakin.

Käytännössä birationalisuus antaa tavan luokitella muotoja niiden yleisen geometrian perusteella. Esimerkiksi käyrien tapauksessa kaksi projektioitua käyrää on birationaalisesti sama kuin ja vain jos niiden genustaso on sama; erityisesti genus 0 tarkoittaa, että käyrä on rational ja birationaalisesti sama kuin P^1. Toisaalta korkeampien dimensiovoiden kohdalla birationalisuus on monimutkaisempi ilmiö, ja sitä tutkitaan muun muassa minimal models -ohjelman (MMP) kautta sekä erilaisten birational invariantsin avulla (kuten Kodairan dimensiot ja plurigenera).

Esimerkkejä: projektio P^2 ja tietyn tyyppinen Del Pezzo -pinta ovat usein birationaalisesti samankaltaisia, ja monet rationaliset pinnat ovat birationaalisesti sama kuin P^2.

Lisätietoja: birationaalisuus, birationaaliset kartat, birationaaliset luokitukset.