binomiarvojen

Binomiarvot ovat matemaattisia arvoja, joita käytetään sekä kombinaatiolaskussa että todennäköisyyslaskennassa. Useimmiten puhutaan binomista, eli luvun n ja kulloisenkin valinnan kertymistä kuvaavasta luvusta binomiaalilaskennan yhteydessä.

Yleisin binomiarvo on binom(n, k), joka merkitsee n valittujen joukkojen lukumäärää, kun valitaan k kohdetta ilman järjestystä. Binom(n, k) määritellään n!/(k!(n−k)!). Ominaisuuksiin kuuluu symmetria: binom(n, k) = binom(n, n−k), ja binom(n, 0) = binom(n, n) = 1.

Binomiarvoja esiintyy keskeisessä lauseessa, binomiaaliluvussa eli binomilaissa: (x + y)^n = sum_{k=0}^n binom(n, k) x^{n−k} y^k. Tämä lause on perusta monille algebran ja combinatorian laskuille, sekä polynomiyhtälöiden laajentamiselle.

Toinen tärkeä konteksti on binomiaalijakauma tilastotieteessä. Jos n riippuvaisista Bernoulli-ponnistuksista, joissa jokaisella yrityksellä on menestymisen todennäköisyys p, niin menestysten lukumäärä K n:lle n on binom(n, K) p^K (1−p)^{n−K}. Binomiarvot kertovat siis sekä yhdistelmien määrää että todennäköisyyksiä.

Binomiarvot kasvavat nopeasti suurilla n ja k-arvoilla, ja niiden laskemisessa käytetään laskukaavoja, taulukoita, ohjelmistoja sekä likiarvoja, kuten Stirlingin kaavaa. Ne ovat keskeisiä sekä teoreettisessa matematiikassa että sovelluksissa, kuten kombinatorisissa laskelmissa, tilastotieteessä ja algebrallisissa laajennuksissa.