bijecções

Bijecção, ou função bijetiva, é uma função f: A → B que é simultaneamente injetiva (um-para-um) e sobrejetiva (cobre todo o conjunto B). Em outras palavras, cada elemento de A tem imagem distinta em B e todo elemento de B é imagem de algum elemento de A. Assim, existe uma correspondência biunívoca entre A e B, e as duas partes têm a mesma cardinalidade. Quando A e B são finitos, essa condição é suficiente para existir uma bijecção entre eles.

Toda bijecção possui inversa. Para f ser bijetiva entre A e B, existe f^{-1}: B → A tal que f^{-1}(f(a)) = a para todo a em A e f(f^{-1}(b)) = b para todo b em B. A função inversa é única e também é bijetiva. O conceito de bijeção é central para falar de equivalência de conjuntos em termos de tamanho (cardinalidade) e para justificar a existência de correspondências um a um entre elementos.

Exemplos: f: Z → Z, f(n) = n + 1, é bijetiva; sua inversa é f^{-1}(m) = m − 1. f: R → R, f(x) = x^3 é bijetiva, com inversa f^{-1}(y) = y^{1/3}. Um exemplo que não é bijetiva é f(x) = x^2 em R, pois não é injetiva (duas entradas distintas produzem a mesma imagem) nem surjetiva (não atinge números negativos).

Em conjuntos finitos, bijecções definem exatamente quando dois conjuntos têm a mesma cardinalidade. Em teoria dos conjuntos, a existência de bijeções também está relacionada a princípios como o teorema de Cantor-Bernstein.