avstandsmetri

Avståndsmetri är en funktion som tilldelar två objekt ett icke-negativt tal och uppfyller vissa grundläggande axiom: d(x,y) ≥ 0 för alla x, y; d(x,y) = 0 endast om x = y; d(x,y) = d(y,x); och triangelolikheten d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) för alla x, y, z. En funktion som uppfyller dessa villkor kallas en metric, och ett rum tillsammans med en metric kallas ett metric space.

En metric definierar ett naturligt mått på avstånd mellan objekt i Mängden X. Denna struktur möjliggör konstruktion av topologi via öppna bollar B_r(x) = {y ∈ X | d(x,y) < r}, samt studier av konvergens, kontinuitet och granskning av Cauchy-sekvenser och fullständighet. En metric kan vara lika allmän som man vågar, men vissa klassiska exempel är välkända.

Vanliga exempel är den euklidiska metrikken d(x,y) = √∑(x_i − y_i)² på R^n, L1-metrik (Manhattan) d(x,y) = ∑ |x_i − y_i|, och Chebyshev-metrik d∞(x,y) = max_i |x_i − y_i|. Andra exempel inkluderar Hamming-metrik för lika långa strängar och diskret metric d(x,y) = 0 om x = y, annars 1.

Metricer används inom geometri, analys och statistik samt i tillämpningar som maskininlärning (till exempel närhetssök och klustring). De skiljer sig från pseudo-metrik, som tillåter d(x,y) = 0 trots att x ≠ y, och från icke-symmetriska mått som quasi-metriker. Avståndsmetri är central för att definiera avstånd och rumsliga egenskaper i matematik och tillämpningar.