avstandsfunksjon

Avstandsfunksjon er en matematisk funksjon som tilordner hvert par av elementer x og y i en mengde X et ikke-negativt tall d(x,y) som antas å måle hvor langt fra hverandre disse elementene er. Når d oppfyller visse aksiomer, kalles det ofte en metrikk eller avstandsfunksjon på X. En avstandsfunksjon kalles en metrik hvis den oppfyller: d(x,y) ≥ 0 for alle x,y; d(x,y) = 0 dersom og bare dersom x = y; d(x,y) = d(y,x) (symmetri); og d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) for alle x,y,z (trekantlikningen). Slike egenskaper gjør at avstandsfunksjonen gir en naturlig topologi på X, hvor åpne kuler og grenser kan defineres via d.

Vanlige eksempler inkluderer Euclidean-avstanden i ℝ^n, som er d(x,y) = sqrt(sum_i (x_i − y_i)^2), og andre avstandsformer som Manhattan-avstanden d(x,y) = sum_i |x_i − y_i| og Chebyshev-avstanden d(x,y) = max_i |x_i − y_i|. I grafteori brukes ofte korteste avstandsvei mellom noder som en distansfunksjon, der vektene på kantene bestemmer avstanden.

Det finnes også varianter og spesialtilfeller. Utenfor metrikkravet kan man ha pseudometrikker hvor d(x,y) = 0 selv om x ≠ y, eller ultrametrikker som oppfyller en strengere trekantulikhet d(x,z) ≤ max{d(x,y), d(y,z)}. Avstandsfunksjoner spiller en sentral rolle i områder som clustering, nærmeste nabo, multivariat analyse og bildesektor, der likhet eller forskjell mellom objekter måles konsekvent for å trekke meningsfulle konklusjoner. Relaterte konsepter inkluderer normbaserte avstander i vektorrom og topologiske egenskaper som konvergens og kontinuitet definert via d.