attractoreihin

Attractorit dynaamisissa järjestelmissä tarkoittavat joukkoa A, kohti jota järjestelmän tila x(t) kehittyy ajan kuluessa. Ne ovat usein tiheitä, invariansseja tilakokonaisuuksia, joita järjestelmä lähestyy usean erilaisen aloitustilan jälkeen. Tarkka määritelmä voidaan ilmaista siten, että A on kompakti ja invariantti joukko (φ_t(A) = A kaikilla t ≥ 0), ja on olemassa alue, jonka kaikilla alkutiloilla x dist(φ_t(x), A) → 0 t → ∞. Tämä alue kutsutaan attractorin houkutusalueeksi tai basiiniksi.

Houkutusominaisuus tarkoittaa, että suurempi osa järjestelmän mahdollisista aloitustiloista johtaa tilan kehittymisen kohti A:tä. Erilaiset järjestelmät voivat omata useita attractoreita, joista riippuu, mihin tilanne yhä lopulta päätyy. Attractoreita voidaan kuvata sekä jatkuvan aikavälin että diskreetin ajan mallien kautta.

Tyyppejä kutsutaan usein seuraavasti:

- Pysyvä piste (equilibrium attractor): järjestelmä lähestyy ja pysyy tasapainossa t → ∞.

- Rajoitettu kierto (limit cycle): järjestelmä lähestyy säännöllistä, suljettua kiertoa.

- Outo attractor (strange attractor): kausaalisen epäjatkuvuuden ja kaaoksen omaava attractor, jolla on monimutkainen, fraktaalinen rakenne.

Esimerkkejä ovat Lorenzin attractor (saattaa esiintyä klusteroituneena kaaoksena), Duffingin heiluri sekä logistic-tyyppiset kartat. Attractoreita tutkitaan erityisesti dissipatiivisissa järjestelmissä, joissa tila kutistuu kohti aluesisältöä, ja ne eroavat repellerien muodostamista tiloista.