arclängdsparameter

Arclängdsparameter, även kallad arc-length parameter, är en parametrisering av en kurva med avseende på kurvans arclängd i stället för en godtycklig tids- eller platsparameter. För en kurva r(t) i R^n där t tillhör ett intervall I och r′(t) ≠ 0 är arclängden s(t) från en startpunkt t0 definierad som s(t) = ∫_{t0}^t ||r′(u)|| du. Om s är strikt monoton ökar funktionen och har en invers t(s). Då kan kurvan skrivas som R(s) = r(t(s)), och den uppfyller ||dR/ds|| = 1, dvs hastigheten i arc-length-parametrisering är en enhetsvektor.

Egenskaper och innebörd: I arclängdsparametrisering är den enhetsriktningen längs kurvan given av T(s) = dR/ds, den så kallade enhets-tangenten. Kurvaturen κ(s) definieras som ||dT/ds||, och i planar geometri uppträder även d^2R/ds^2 = κ(s) N(s) där N är enhetlig normal. I tre dimensioner ingår Frenet-Serret-ramen med T, N och B = T × N. Att använda arclängd som parameter gör många formler och egenskaper oberoende av hur kurvan initially lades upp i tiden, vilket ofta förenklar teorin och numerisk behandling.

Existens och användning: För en regulär kurva med r′(t) ≠ 0 i ett intervall finns lokal arclängdsparametrisering. Global existens kräver lämpliga tillstånd (t.ex. kurvans fullständighet). Används ofta i differentialgeometri och datorgrafik för att uppnå numerisk stabilitet och enklare uttryck av geometriska kvantiteter som T, κ och B.