antiderivaatin

Antiderivaatin eli antiderivaatio on funktio F, jonka derivaatta on f, eli F'(x) = f(x) kaikilla x tietyllä välillä. Toisin sanoen F on f:n antiderivaatio. Yleensä merkitään F = ∫ f(x) dx + C, jossa C on vakio.

Jos f on jatkuva välillä [a, b], voidaan määritellä F(x) = ∫_a^x f(t) dt. Tällöin F'(x) = f(x) ja F on f:n eräs antiderivaatio. Kaikki f:n antiderivaatioiden erot ovat vakioita: jos F ja G ovat f:n antiderivaatioita, niin F(x) − G(x) = C.

Lineaarisuus: antiderivaatio noudattaa lineaarisuutta. Jos f ja g ovat funktioita ja F, G niiden antiderivaatioita, niin aF + bG on antiderivaatio af + bg + C.

Esimerkkejä: f(x) = 2x → F(x) = x^2 + C. f(x) = sin x → F(x) = −cos x + C.

Fundamental theorem of calculus: jos f on jatkuva, F(x) = ∫_a^x f(t) dt on f:n antiderivaatio. Tämän teoreeman mukaan derivointi ja määritelty integraatio ovat inverseja toisilleen.

Sovellukset: antiderivaatio liittyy kokonaiskertymien ja alueiden laskemiseen sekä fysiikassa työn ja liikkeen analysointiin. Huomio: antiderivaatio on määrätty vain vakiolla C; kaikki eri antiderivaatioiden erot ovat vakio, minkä vuoksi vakiotermi on aina mukana.