alcsoport

Az alcsoport (subgroup) egy csoport elméletében egy olyan részhalmaz, amely a közös műveletet ugyanazzal a működéssel értelmezve önmagában is csoportot képez. Ha G egy csoport, akkor egy H ⊆ G alcsoport, ha H minden eleme alatt értelmezett művelet van és az operációt korlátozva H-ra zártan marad.

Az alcsoport meghatározó feltételei: H ≠ ∅, és minden a,b ∈ H esetén a·b ∈ H, valamint minden a ∈ H-ra a^{-1} ∈H. Ebből következik, hogy az identitás e a csoportban eleme H lesz, és az elemek inverszai is benne maradnak. Más megfogalmazás szerint H alcsoport, ha zárt az operációra és zárt az inverzre, illetve egyes változatban úgy gondolható, hogy ha minden a,b ∈ H-ra ab^{-1} ∈ H, akkor H alcsoport.

Jelölés és alapvető tulajdonságok: egy alcsoportot általában H ≤ G jelöli, és ha H ≠ G, akkor H < G. Alcsoportokra általánosan jellemző, hogy a hozzátartozó elemek a csoport szerkezetét megőrzik a kisebb részhalmazban, így például a determinált műveletek, identitás, inverz. Nem ritka, hogy alcsoportokat generálnak meghatározó elemek halmazából, az így kapott legkisebb alcsoportot ⟨S⟩-nek írják.

Példák: a (Z, +) csoportban minden nZ, n ≥ 0, alcsoport; a n!!!! S_n csoportban az A_n (bontandó) alcsoport, index 2. Normál alcsoportok és quotiente csoportok: ha N alcsoport normális G-ben, akkor G/N csoportot alkot. Alcsoportokra gyakran alkalmazzák a generátorokkal és a relációkkal kapcsolatos eljárásokat a csoport szerkezetének feltérképezéséhez.