aikadiskretointi

Aikadiskretointi on prosessi, jossa jatkuva aikainen malli muunnetaan diskreetiksi ottamalla ajan askeleita Δt ja päivittämällä tilaa jokaisessa askeleessa. Tämä mahdollistaa mallien simuloinnin tietokoneella ja digitaalisen ohjauksen toteuttamisen. Tyypillisesti jatkuvat differentiaaliyhtälöt korvataan ajallisella diskretisoinnilla, jolloin tila x_k määritellään ajankohdassa t_k ja päivityssääntö on muotoa x_{k+1} = Φ(x_k, t_k, Δt).

Yleisimmät aikadiskretoinnin menetelmät ovat eksplisiittisiä ja implisiittisiä. Esimerkkejä ovat eksplisiittinen Eulerin menetelmä sekä implisiittinen Eulerin menetelmä, sekä Runge–Kutta -perheet kuten RK4. Lisäksi käytetään Adams-Bashforth–Moulton -multistep -menetelmiä. Valinta vaikuttaa tarkkuuteen, vakauteen ja laskennan vaivaan.

Keskeisiä käsitteitä ovat virhe, konvergenssi ja vakaus. Diskretoinnin aikavirhe on usein O(Δt^p), missä p on menetelmän järjestys. Aikavälin Δt valinta vaikuttaa sekä tulosten tarkkuuteen että järjestelmän stabiilisuuteen; PDE-muotoisissa sovelluksissa on usein CFL-ehto. Stiff-ongelmat voivat vaatia implisiittisiä menetelmiä ja pienempää Δt:ta.

Sovelluksia ovat fysiikan ja mekaniikan simuloinnit, sähkö- ja automaation järjestelmät, signaalinkäsittely sekä stokastisten prosessien simulointi ja digitaalisen ohjauksen toteutus reaaliajassa.