adjointtilojen

Adjointtilat ovat käsite matematiikassa, joka viittaa adjointitiloihin tai -operaattoreihin. Yleisesti adjointtilat tarkoittavat dualitiloja eli tiloja, jotka kuvaavat alkuperäisen tilan lineaarisia funktioita tai ovat adjointien vaikutusalueita. Keskeinen esimerkki on normoitujen tilojen duali: X* koostuu kaikista jatkuvista lineaarisista funktionaaleista tilalla X.

Muun muassa adjointioperatööri T*: Y* → X* määritelty T: X → Y -lineaarisen operaattorin yhteydessä on adjointti, joka toimii siten, että T*(f) = f ∘ T kaikille f ∈ Y*. Tämä tekee T: X → Y:stä sekä lineaarisen että bekkän operaattorin, ja supnormi pysyy hallussa: ||T*|| = ||T||, kun tilat ovat Banach-tiloja.

Sijoitettuna sisäkkäisiin, Hilbertin tiloihin liittyy läheinen yhteys: jos X ja Y ovat sisäkkäisiä tiloja ja Rieszin esityksen kautta Y*:lle löytyy vastaava vektori y ∈ Y, niin T* vastaa sitä operatorina, jolla ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T*y⟩ kaikille x ∈ X, y ∈ Y. Kun tilat ovat finitide-­mittaisia ja varustettu standardeilla sisätuloilla, matriisi T* on konjugaatio-transpoosi matriisista T.

Dualitilat X* kantavat operaatori- normin ja ovat keskeisiä analyysissä, koska monet ongelmat ilmenevät funktionaaleina ennemminkin kuin vektoreina. Esimerkkeinä X = R^n antaa X*:n identtisesti R^n, ja X = C([0,1]) -tilan dualia voidaan karakterisoida fimääräisten Borel-mittausten kautta Rieszin esityksen avulla.

Huomautus: kategoriateoriassa adjointtilaisuudet ovat eri käsite (adjointifunktorit); analyysissä adjointtilat viittaavat yleensä dualiin tai adjointtoriin eikä kategorisiin adjunction-ontoihin.