absoluttrykk

Absoluttrykk, i matematikk, er uttrykk som inneholder absoluttverdi, ofte skrevet med vertikale streker som | |. Eksempler er |x|, |2x − 3| eller |f(x)|. Absoluttverdi-operatoren returnerer alltid et ikke-negativt tall og kan tolkes som avstanden fra et tall til null.

Grunnleggende egenskaper: For alle reelle tall x gjelder |x| ≥ 0, og |x| = x dersom x ≥ 0, mens |x| = −x dersom x < 0. Produktregelen gjelder: |xy| = |x| |y|. For sammensatte uttrykk gjelder generelt |g(x)|, og hvor g(x) er negativt, blir verdien positiv ved å ta absoluttverdien. Triangelikheten sier at |a + b| ≤ |a| + |b|; og ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

Fremstilling som et stykkevis definert uttrykk: Absoluttverdien kan representeres som et stykkevis definert uttrykk: |x| = { x, hvis x ≥ 0; −x, hvis x < 0 }. For generelle funksjoner g kan |g(x)| skrives stykkevis ved å vurdere hvor g(x) er positiv eller negativ.

Løsing av ligninger og ulikheter: Å løse |x| = a gir x = ±a med a ≥ 0. |x| ≤ a gir −a ≤ x ≤ a, mens |x| ≥ a gir x ≤ −a eller x ≥ a. Grafisk er y = |x| en V-formet kurve, og for |f(x)| blir den deler av grafen til f reflektert over x-aksen i områdene der f(x) < 0.

Bruksområder: Absoluttuttrykk brukes i modellering av avstander, avvik og feil, samt i løsninger av ulikheter, optimering og analys­er av måleenheter og funksjoner.