absoluttverdien

Absoluttverdien av et tall, skrevet |a|, er avstanden mellom tallet og 0 på tallinjen. Den er alltid ikke-negativ: |a| ≥ 0. Definisjonen er |a| = a hvis a ≥ 0, og |a| = -a hvis a < 0. For et tall eller en variabel x gjelder det samme, og i kompleks kontekst kalles tilsvarende størrelse ofte modulus.

Egenskaper: Absoluttverdien er multiplicativ på tall: |ab| = |a||b|. Den tilfredsstiller triangelulikheten: |a + b| ≤ |a| + |b|. Den omvendte triangelulikheten: ||a| - |b|| ≤ |a - b|. Ikke-negativitet: |a| ≥ 0, og |a| = 0 iff a = 0. Avstanden til tallet 0 gir også at -|a| ≤ a ≤ |a|. Hvis a ≥ 0, er |a| = a; hvis a < 0, er |a| = -a.

Geometrisk tolkning og anvendelse: Absoluttverdien beskriver størrelsen, ikke retningen. Avstanden mellom to tall a og b er |a - b|. Dette gjør absoluttverdien sentral i måling av afstand, feilmarginer og i normer i real- og komplekse rom. I flere dimensjoner utvider begrepet seg til generelle normer, mens for komplekse tall bemerker man modulus |z| som størrelsen til z.

Eksempler: |5| = 5, |-3| = 3, |2 - 7| = 5. Den grafiske representasjonen av |x| er en V-formet kurve: |x| = x for x ≥ 0 og |x| = -x for x < 0.