Zárttartományon

Zárttartományon nevű fogalom a matematika szövegkörnyezetében általában egy zárt intervallumot jelent a valós számok halmazában. Konkrétan [a, b] tartományt értjük alatta, ahol a és b reálértékek és a ≤ b. A zártság miatt a végpontok is benne vannak. A zárttartományon értelmezett függvények domainja lehet ilyen, de gyakran az egész [a, b] intervallumot vizsgáljuk.

A zárttartomány jellegzetességei közé tartozik, hogy zárt és korlátozott. A valós számokban ez a kombináció kompaktosságot jelent, ezért a zárttartományon minden folytonos függvény korlátos, és eléri maximumát és minimumát (extremum-tétel). Ezenkívül a zárttartományon értelmezett folytonos függvények egyenletesen is folytonosak ezen a tartományon. A tartomány hossza (b−a) adja meg a méretét, amelyet például integrálás vagy mérés során figyelembe veszünk.

Kiterjesztésként a fogalom általánosabban értelmezhető topologiai térben is, ahol zárt alatti részhalmazokról beszélünk. A zárttartományon végzett elemzés gyakran egyszerűbb a nyílt intervallumon végzett analízishez képest, mert a végpontok jelenléte és a kompakt jelleg kedvező tulajdonságokat biztosít a bizonyításoknál és a folyamatok létezésénél.