Zetafunktsioonid

Zetafunktsioonid on matemaatikas olulised funktsioonid, mida uuritakse laialdaselt arvuteoorias ja analüütilises numberteooria. Kõige tuntum neist on Riemann zetafunktsioon, mida tähistatakse sümboliga ζ(s). See funktsioon on defineeritud komplekstoonaarsete arvude s jaoks, mille reaalarvuline osa on suurem kui 1, järgmise Dirichlet'i reana: ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

Riemann zetafunktsioonil on oluline roll algarvude jaotuse uurimisel. Funktsiooni saab analüütiliselt jätkata kogu kompleksitasapinnale, välja arvatud punktis s=1, kus sellel on lihtne poolus. Zetafunktsiooni nullkohad, st. väärtused s, mille korral ζ(s) = 0, on eriti huvipakkuvad. Tuntud on teinepoolnullkohad (s = -2, -4, -6, ...), kuid uuritakse peamiselt triviaalsete nullkohtade mitteasetsevaid nullkohti. Riemann hüpotees, üks matemaatika kuulsamaid lahendamata probleeme, väidab, et kõik need mitte-triviaalid nullkohad asuvad kriitilisel joonel, kus reaalarvuline osa s on võrdne 1/2.

Lisaks Riemann zetafunktsioonile on olemas ka teisi zetafunktsioone, näiteks Dedekind zetafunktsioonid, mis on Dedekindide kehade jaoks loodud üldistused. Need funktsioonid on samuti tähtsad arvuteoorias ja nende omadused on seotud kehade klassiarvu probleemidega. Dirichlet L-funktsioonid on veel üks oluline perekond funktsioone, mis on seotud Dirichlet'i arvuteoreetiliste funktsioonidega ja millel on sarnasusi Riemann zetafunktsiooniga.

---