Yksikköquaternio

Yksikköquaternio on kvaternio, jonka normi on yksi. Merkitään usein q = w + xi + yj + zk, jolloin w, x, y ja z ovat reaalilukuja ja ||q|| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2) = 1. Yksikköquaternio muodostuu suljetun joukkoiseksi alkioksi kvaterniontilgeessa ja sen ominaisuudet tekevät siitä kätevän esityksen 3D-suuntaamisesta.

Rotaatioiden esittämisessä yksikköquaternio on keskeinen. Ympäri yksikköakselia u (yksikön pituinen vektori) ja kulman theta kiertävä rotaatio vastaa q = [cos(theta/2), sin(theta/2) * u_x, sin(theta/2) * u_y, sin(theta/2) * u_z]. Sama rotaatio voidaan kuvata myös toisenlaisella kvaternioilla -q, mikä johtuu kvaterniontien kahdenarvoisesta kattavuudesta SO(3):iin. Kvaternionin konjugaatio q* = [w, -x, -y, -z] on käänteinen, ja yksikkökvaternionin käänteisluku on q^{-1} = q*.

Kvaterniontien yhdistämistä käytetään rotaatioiden kompositioon: rotaatio q1 seuraa rotatio q2 vastaa kertolaskua q = q1 * q2. Tämä käänteinen ei ole commutatiivinen yleisesti. Normi pysyy vakiona, mutta numeerinen vinoutuminen voi muuttaa neulasen neliöiden summaa; siksi q:n tulisi silloin normaalisoida takaisin yhteen.

Käyttöalueet ja edut ovat laajat: yksikköquaternionit tarjoavat tiheän, stabilin ja gimbal-vapaan tavan esittää orientaatiot, ne soveltuvat erinomaisesti tietokonegrafiikkaan, robotiikkaan ja ilmailuun sekä orientaation interpolointiin, kuten slerp (spherical linear interpolation). Yleisiä ovat muunnokset kuvan rotaation matriisiin sekä päinvastoin, jolloin kvaternionit toimivat usein etusijaisesti tilan tilanhallinnassa.

---